(Задача−исследование.) Проверьте, верны ли равенства

\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}

\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}

\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}

.
Выясните, каким должно быть соотношение между числами a и b, чтобы было верно равенство

\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a \sqrt{\frac{a}{b}}

, где a ∈ N и b ∈ N.
1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. Номер №417

Решение

\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}

\sqrt{2 \frac{2}{3}} = \sqrt{4 * \frac{2}{3}}

\sqrt{2 \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}

\sqrt{2 \frac{2}{3}} = \sqrt{2 \frac{2}{3}}

\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}

\sqrt{3 \frac{3}{8}} = \sqrt{9 * \frac{3}{8}}

\sqrt{3 \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}

\sqrt{3 \frac{3}{8}} = \sqrt{3 \frac{3}{8}}

\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}

\sqrt{4 \frac{4}{15}} = \sqrt{16 * \frac{4}{15}}

\sqrt{4 \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}

\sqrt{4 \frac{4}{15}} = \sqrt{4 \frac{4}{15}}

Таким образом, все равенства являются истинными.
Рассмотрим соотношение между числами a и b:

\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a \sqrt{\frac{a}{b}}

(\sqrt{a + \frac{a}{b}})^{2} = (a \sqrt{\frac{a}{b}})^{2}

a + \frac{a}{b} = a^{2} \frac{a}{b}

a = \frac{a^{3} - a}{b}

b = \frac{a^{3} - a}{a} = \frac{a (a^{2} - 1)}{a} = a^{2} - 1

Вывод:
если

b = a^{2} - 1

, то

\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a \sqrt{\frac{a}{b}}

Проиллюстрируем на заданных примерах.
1) В паре

\sqrt{2 \frac{2}{3}}

2 \sqrt{\frac{2}{3}}

a = 2,

b = a^{2} - 1 = 4 - 1 = 3

.
2) В паре

\sqrt{3 \frac{3}{8}}

3 \sqrt{\frac{3}{8}}

a = 3,

b = a^{2} - 1 = 9 - 1 = 8

.
3) В паре

\sqrt{4 \frac{4}{15}}

4 \sqrt{\frac{4}{15}}

a = 4,

b = a^{2} - 1 = 16 - 1 = 15

.
Продолжим это ряд:

\sqrt{5 \frac{5}{24}} = 5 \sqrt{\frac{5}{24}}

\sqrt{6 \frac{6}{35}} = 6 \sqrt{\frac{6}{35}}

\sqrt{7 \frac{7}{48}} = 7 \sqrt{\frac{7}{48}}

и т.д.

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. Номер №417

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. Номер №417

Решение